Emmy Noether

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Emmy Noether
Noether.jpg
Doğum Amalie Emmy Noether
23 Mart 1882(1882-03-23)
Erlangen, Bavyera, Almanya
Ölüm 14 Nisan 1935 (53 yaşında)
Bryn Mawr, Pensilvanya, ABD
Milliyeti Alman
Dalı Matematik ve fizik
Çalıştığı yerler Göttingen Üniversitesi
Bryn Mawr Koleji
Öğrenim Erlangen Üniversitesi
Doktora hocası Paul Gordan
Doktora öğrencileri Max Deuring
Hans Fitting
Grete Hermann
Zeng Jiongzhi
Jacob Levitzki
Otto Schilling
Ernst Witt
Önemli başarıları Soyut cebir
Teorik fizik
Aldığı ödüller Ackermann–Teubner Memorial Ödülü (1932)

Emmy Noether (Almanca: [ˈnøːtɐ]; asıl adı Amalie Emmy Noether;[1] 23 Mart 1882 – 14 Nisan 1935), soyut cebir ve kuramsal fiziğe çığır açıcı katkılarıyla bilinen bir Alman matematikçidir. Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl, Norbert Wiener ve daha birçok kişi tarafından halka, alan, ve cebir teorilerinde devrim yaratan, tarihin en önemli matematikçilerinden biri olarak nitelendirilmiştir.[2][3] Noether teoremi, simetri ile korunum yasaları arasındaki temel bağı açıklar.[4]

Bavyera’nın Erlangen kasabasında Yahudi bir ailede doğmuştur. Babası matematikçi Max Noether’dir. Gerekli sınavları geçtikten sonra Fransızca ve İngilizce öğretmeyi planlamıştır ama sonunda babasının ders verdiği Erlangen Üniversitesi’nde matematik okumuştur. 1907’de Paul Gordan’ın danışmanlığında tezini bitirdikten sonra Erlangen Matematik Enstitüsünde maaş almadan yedi yıl çalışmıştır. (O zamanlar kadınlar akademik pozisyonlardan dışlanmışlardı). 1915’de David Hilbert ve Felix Klein tarafından Göttingen Üniversitesinin dünyaca ünlü matematik bölümüne katılması için çağrıldı. Fakat üniversite yönetimi tarafından reddedildi ve dört yıl daha Hilbert adına ders vermeye devam etti. Ders verme hakkı 1919’da verildi, bu sayede Privatdozent (Germenik üniversitelerde, sahibinin, profesörlük makamına sahip olmaksızın bağımsız olarak ders verebileceği anlamını taşıyan unvan) unvanını alabildi.

1933’e kadar Göttingen matematik bölümünün ileri gelen üyeleri arasındaki yerini sürdürdü; öğrencilerine zaman zaman “Noether oğlanları” denirdi. 1924’de Hollandalı matematikçi B. L. van der Waerden öğrencisi oldu ve kısa zaman içinde Noether’in çalışmalarının önde gelen yorumcusu oldu; Noether’in çalışmaları öğrencisinin yazdığı 1931 tarihli ders kitabı, Modern Cebir’in’in ikinci cildinin temelini oluşturuyordu. 1932 Zürih Uluslararası Matematikçiler Kongresi’ne katılımına kadar, cebirsel yetenekleri tüm dünyada tanınmıştı. Ertesi yıl Alman Nazi hükümeti Yahudileri üniversite pozisyonlarından çıkarttı ve Noether, Pensilvanya’daki Bryn Mawr Üniversitesinde bir pozisyona geçmek üzere Amerika Birleşik Devletlerine taşındı. 1935’de yumurtalıklarındaki kist için ameliyata girdi, iyileşme belirtilerine rağmen dört gün sonra 53 yaşında öldü.

Noether’in matematik çalışmaları üç “dönem”e ayrılmıştır.[5] İlkinde (1908-19), cebirsel değişmezler ve sayı alanlarıüzerine etkin katkılar sağlamıştır. Varyasyonlar hesabındaki diferansiyel sabitler üzerine çalışmaları, Noether teoremi, “modern fiziğin gelişmesine yol gösteren şimdiye kadar kanıtlanmış en önemli matematik teorilerisi” olarak sayılır.[6] İkinci dönemde (1920–26), “soyut cebri değiştiren” çalışmasına başladı.[7] Yaşamı boyunca ve hatta bugün bile Noether; Pavel Alexandrov,[8] Hermann Weyl,[9] ve Jean Dieudonné.[10] gibi matematikçiler tarafından tarihteki en iyi kadın matematikçi olarak gösterildi. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains, 1921) isimli makalesinde değişmeli halkalarda idealler teorisini geniş kullanıma sahip kuvvetli bir araç haline getirmiştir. Artan zincir koşulunu zarifçe kullanmıştır ve bu sebeple bu koşulu sağlayan nesnelere Noetherian denir. Üçüncü döneminde (1927-1935), değişmez cebirler ve hiperkompleks sayılar hakkında başlıca işler yayınlamıştır ve grupların representation teorisi ve modüller ve idealler teorilerini birleştirmiştir. Kendi yayınlarının yanı sıra Noether fikirleri konusunda da oldukça cömertti ve başka matematikçiler tarafından yayınlanan işlerde, bu işlerin alanlarının uzaklağına rağmen defalarca referans olarak verildi.

Biyografi

Noether Bavyera’nın Erlangen kasabasında büyüdü, burada 1916 tarihli bir kartpostalda görülüyor

Emmy’nin babası Max Noether, Almanya’da tüccar bir aileden geliyordu. Çocuk felci yüzünden on dört yaşında felç olmuştu. Hareket kabiliyetini geri kazandı, fakat bir bacağı iyileşmedi. Çoğunlukla kendi kendine öğrenerek 1868’de Heidelberg Üniversitesinden doktor unvanı aldı. Orada yedi yıl ders verdikten sonra varlıklı bir tüccar kızı olan karısı Ida Amalia Kaufmann ile tanıştığı ve evlendiği Erlangen, Bavyera’da bir pozisyona geçti.[11][12][13][14] Max Noether’in matematiğe katkısı Alfred Clebsch yolundan giderek cebirsel geometriye oldu. En çok bilinen çalışmaları Brill–Noether teorisi ve AF+BG teoremidir. Max Noether teoremi' gibi birkaç teorem daha onunla ilişkilendirilmiştir.

Emmy Noether dört çocuğun ilki olarak 23 Mart 1882’de doğmuştur. İlk ismi annesi ve babaannesinin adına, "Amalie"’dir, ama genç yaşta orta ismini kullanmaya başlamıştır. Bir kız olarak ailede çok sevilirdi. Akıllı ve arkadaş canlısı olarak bilinmekle birlikte akademik olarak dikkat çekmemiştir. Emmy miyoptu ve çocukken kekeliyordu. Bir aile arkadaşı yıllar sonra Emmy’nin bir bulmacayı hızla çözerek erken yaşta üstün zekasını belli ettiğini anlatmıştır.[15] Emmy zamanındaki birçok kız gibi yemek ve temizlik yapmayı öğrenmiş, piyano dersleri almıştır. Bu aktivitelerin hiçbirini tutkuyla yapmamış fakat dans etmeyi çok sevmişti.[16][12]

Kendisinden küçük üç erkek kardeşi vardı. En büyüğü Alfred, 1883’te doğmuştu, 1909’da Erlangen’de kimya alanında doktor unvanını aldı, 9 yıl sonra öldü. Fritz Noether, 1884’de doğmuştur, akademik başarıları ile hatırlanır: Münih’de okuduktan sonra uygulamalı matematikte itibar kazanmıştır. En küçükleri, Gustav Robert, 1889’da doğmuştur. Hayatı ile ilgili çok az bilinen vardır; kronik bir hastalık sebebiyle 1928’de ölmüştür.[17][18]

Erlangen Üniversitesi

Paul Gordan, Noether’in değişmezler biquadratik form.

Paul Gordan, Noether'in değişmezler alanındaki doktora tezine danışmanlık etti.

Emmy Noether Fransızca ve İngilizcede erken yetkinlik gösterdi. 1900 baharında iki dil için de öğretmenlik sınavına girdi ve sehr gut (çok iyi) olarak notlandırıldı. Bu performansı kız okullarında ders verme hakkı kazandırdı, ama Erlangen Üniversitesindeki çalışmalarına devam etmeye karar verdi.

Bu alışılmadık bir karardı; iki yıl öncesinde Üniversite Senatosu karma eğitimin “akademik düzeni bozacağını” açıklamıştı.[19] 986 öğrenciden oluşan bir üniversitedeki yalnızca iki kız öğrenciden biri olan Noether’in derse katılmasından ziyade denetim yapmasına izin veriliyordu, bunun için de dersine katılmak istediği profesörlerden özel izin alması gerekiyordu. Bütün engellere rağmen 14 Temmuz 1903’de Nürnberg’de bir Realgymnasium’da mezuniyet sınavını geçti.[20][21][22]

1903-04 kış dönemini Göttingen Üniversitesinde okudu, astronom Karl Schwarzschild, matematikçi Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein, ve David Hilbert’in derslerine katıldı. Kısa bir süre sonra kadınların o üniversitede katılımına dair kısıtlamalar yürülükten kaldırıldı.

Noether Erlangen’e döndü. Üniversiteye resmen 24 Ekim 1904’e de girdi ve matematik üzerine yoğunlaşmak istediğini beyan etti. Paul Gordan’ın gözetimi altında Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (On Complete Systems of Invariants for Ternary Biquadratic Forms, 1907) tezini yazdı. İyi karşılanmış olmasına rağmen Noether sonradan tezinin “çerçöp” olduğunu söylemiştir.[23][24][25]

Sonraki yedi yıl (1908-15) Erlangen Üniversitesi Matematik Enstitüsünde maaş almadan, zaman zaman hastalığı nedeniyle ders veremeyecek durumda olan babasının yerine geçerek öğretmenlik yaptı. 1910 ve 1911’de üç değişkeni “n” değişkene çıkararak tezine ilave yaptı.

Noether bazen meslektaşı Ernst Fischer’le soyut cebir tartışmak için posta kartı kullanırdı. Bu posta kartı 10 Nisan 1915 tarihlidir.

Gordan 1910 baharı emekli oldu, ama kısa bir zaman sonra Breslau’da bir pozisyon için ayrılan halefi Erhard Schmidt ile arada bir ders vermeye devam etti. Gordan ders vermeyi tamamıyla 1911’de Schmidt'in yerine geçen Ernst Fischer’in gelmesiyle bıraktı ve Aralık 1912’de öldü.

Hermann Weyl’e göre Fischer, özellikle David Hilbert’nin çalışmalarıyla kendisini tanıştırması sebebiyle Noether üzerinde önemli bir esin kaynağıydı. Noether 1913’den 1916’ya kadar Hilbert metodlarının kapsamını genişleterek ve rasyonel fonksiyonların alanı ve sonlu grupların değişmezleri gibi matematiksel objelere uygulayarak yazdığı makaleleri yayımladı. Bu evre, çığır açıcı katkıda bulunduğu matematik alanı soyut cebir ile bağlantısının başlangıcıdır.

Noether ve Fischer matematiği haz duyarak paylaştılar; çoğu zaman dersler bittikten sonra bile tartışmaya devam ederlerdi. Noether’in devam eden matematiksel düşüncelerini kartpostalla Fischer’e gönderdiği biliniyor.[26][27][28]

Göttingen Üniversitesi

1915 baharı, Noether David Hilbert ve Felix Klein tarafından Göttingen Üniversitesine dönmesi için çağrıldı. Fakat bu işe alma gayretleri yersiz kaldı. Felsefe Fakültesi öğretim üyeleri, dil bilimci ve tarihçiler, kadınların privatdozent olmamaları konusunda ısrar ettiler. Bir fakülte üyesi: “Askerlerimiz üniversiteye döndükleri zaman, bir kadının ayağında öğrenim görmeleri gerektiğini öğrenince ne düşünecekler?” diyerek protesto etti.[29][30][31][32] Hilbert içerleyerek karşılık verdi; “Adayın cinsiyetini “privatdozent” olarak kabul edilmesine karşı bir sav olarak görmüyorum. Sonuç olarak biz bir üniversiteyiz, hamam değil."[29][30][31][32]

In 1915’de David Hilbert bazı meslektaşlarının, kadınların üniversitede öğretim vermemesi gerektiği görüşlerine karşı çıkarak Noether’i Göttingen Üniversitesi matematik bölümüne davet etti.

Noether Nisan’ın sonuna doğru Göttingen’e yola çıktı, iki hafta sonra annesi Erlangen’de öldü. Annesinin daha önce gözünden tedavi olduğu bilinmektedir fakat bu durumun ölümüne olan etkisi bilinmemektedir. Bu sırada Noether’in babası emekli oldu ve erkek kardeşi I. Dünya Savaşına katılmak üzere Alman Ordusuna katıldı. Yaşlı babasına bakmak üzere birkaç haftalığına Erlangen’e döndü.[33]

Göttingen’de ders verdiği ilk yıl resmi bir pozisyonu yoktu ve maaş almıyordu; ailesi, odasını, tahtasını ve akademik işlerini desteklediler. Dersleri çoğunlukla Hilbert’in adı altında duyuruluyordu ve Noether çoğu zaman “yardım” da bulunuyordu.

Göttingen’e vardıktan kısa bir süre sonra şimdi Noether teoremi olarak kabul edilen, korunma yasalarılarının türevlenebilir fiziksel bir sistemin simetrisiyle ilişkili olduğunu gösteren teoremi kanıtlayarak yeteneklerini gösterdi.[31][32] Amerikalı fizikçiler Leon M. Lederman ve Christopher T. Hill kitapları Symmetry and the Beautiful Universe’de Noether teoremini “Kuşkusuz şimdiye kadar kanıtlanmış en önemli matematik teoremlerinden biri, modern fiziğin gelişimine yol göstermekte Pisagor teoremi ile yarışacak düzeyde” diyerek tanımlamışlardır.[6]

Göttingen Üniversitesindeki matematik bölümü Noether’e ders verme hakkını, ders vermeye başladıktan dört yıl sonra, 1919’da verdi.

I. Dünya Savaşı bittiğinde 1918-1919 Alman Devrimi sosyal tavırda kayda değer bir değişime neden oldu, buna kadın haklarındaki artış da dahildi. 1919’da Göttingen Üniversitesi Noether’e ders verme hakkını verdi. Sözlü sınav Mayısın sonunda yapıldı, Haziranda başarıyla “ders verme hakkını” aldı.

Üç yıl sonra Prusya Bilim Sanat ve Eğitim bakanından mektup aldı. Mektupta ona nicht beamteter ausserordentlicher Professor (kadrosuz, sınırlı idari yetkili öğretmenlik) unvanı veriliyordu.[34]). Bu ödeme yapılmayan alt düzey bir profösörlük, bir kamu hizmeti pozisyonuydu. Çalışmalarının önemini tanımakla birlikte, maaş sağlamıyordu. Noether bir yıl sonra Lehrbeauftragte für Algebra özel poziyonuna geçene kadar, verdiği dersler için maaş almıyordu.[35][36][37]

Soyut cebir üzerine çığır açıcı çalışması

Noether teoreminin fizik üzerinde derin bir etkisi olmasına rağmen, matematikçiler arasında Noether soyut cebire olan çığır açıcı katkılarıyla hatırlanır. Nathan Jacobson says in his Introduction to Noether's Collected Papers,

« Soyut cebirin gelişimi -yirminci yüzyıl matemetiğinin en belirgin icatı, yayımladığı makaleleri, dersleri, çağdaşlarına esin kaynağı olarak Noether sayesinde olmuştur. »

Noether'in cebir üzerine çığır açıcı çalışması 1920’de başladı. W. Schmeidler ile bir halkadaki sol ve sağ idealleri tanımladıkları ideal teori makalesini yayımladı. Ertesi yıl matematikteki idealleri göz önüne alarak azalan zincir şartını incelediği Idealtheorie in Ringbereichen adlı makaleyi yayımladı. Meşhur cebirci Irving Kaplansky bu işi “devrimsel” olarak tanımladı.;[38] makalenin yayımlanması "Noetherian halkası" teriminin yaygınlaşmasına ve bazı matematiksel nesnelere Noetherian denmesine neden oldu..[38][39][40]

1924’de genç matematikçi B. L. van der Waerden, Göttingen Üniversitesine geldi. En baştan çok değerli soyut kavramsallaştırma metotları sunan Noether ile çalışmaya başladı. Sonraları Van der Waerden, Noether’in özgünlüğünün “karşılaştırılamaz derecede” olduğunu söylemiştir.[41] 1931’de “Modern Cebir” adlı yazısını yayımladı, ikinci baskısında Noetherden çok fazla alıntı vardır. Noether tanıma istemese de yedinci baskısına “E. Artin ve E. Noether’in dersleri üzerine” diye not düşmüştür.[42][43][44] Noether bazen meslektaşlarının kendi fikirleri ile övgü almalarına, kendi çalışmaları çevresinde kariyer yapmalarına izin verdi.[44][45]

Van der Waerden'in ziyareti birçok matematikçinin matematiksel ve fiziksel araştırmada merkez olan Göttingen’e gelişiyle birlikte olmuştu. 1926’dan 1930’a kadar Rus topolojist Pavel Alexandrov Göttingen Üniversitesinde ders verdi, Noether ile kısa zaman içinde yakın arkadaş oldular. Saygısının ve sevgisini göstermek için ona “der Noether” diye, Almancadaki erkek articleını kullanarak hitap etmeye başladı. Noether Van der Waerden'e Göttingen’de kalıcı bir profesörlük pozisyonu ayarlamaya çalıştı, ama yalnızca Rockefeller Foundation’dan burs ayarlayabildi.[46][47] Düzenli olarak buluştular, cebir ve topolojinin ortaklıkları üzerine tartıştılar. Alexandrov, anma töreninde Emmy Noether’i “gelmiş geçmiş en iyi kadın matematikçi olarak” tanımladı.[48]

Dersleri ve öğrencileri

Noether Göttingen’de bir düzineden fazla doktora öğrencisine danışmanlık yaptı. İlk öğrencilerinden biri Grete Hermanndı, tezini Şubat 1925’de savundu. [49] Noether aynı zamanda, henüz lisans öğrencisi olan, sonradan aritmetik geometri alanına katkılarda bulunan Max Deuring’e; Fitting teoremi, Fitting lemma ile hatırlanan Hans Fitting’e; Tsen teoremini kanıtlayan Zeng Jiongzhi’ye danışmanlık yaptı. Hauptidealsatz ve değişmeli halka için olan boyut teorisi ile değişmeli cebiri geliştiren Wolfgang Krull ile yakından çalıştı.[50]

Doktora öğrencilerinin listesi

Tarih Öğrenci İsmi Tez Başlığı Üniversite Yayımlanma
1911.12.16 Falckenberg, Hans Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Ramifications of Solutions of Nonlinear Differential Equations§
Erlangen Leipzig 1912
1916.03.04 Seidelmann, Fritz Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich
Complete Set of Cubic and Biquadratic Equations with Affect in an Arbitrary Rationality Domain§
Erlangen Erlangen 1916
1925.02.25 Hermann, Grete Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
The Question of the Finite Number of Steps in the Theory of Ideals of Polynomials using Theorems of the Late Kurt Hentzelt§
Göttingen Berlin 1926
1926.07.14 Grell, Heinrich Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
Relationships between the Ideals of Various Rings§
Göttingen Berlin 1927
1927 Doräte, Wilhelm Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff
On a Generalized Conceptions of Groups§
Göttingen Berlin 1927
died before defense Hölzer, Rudolf Zur Theorie der primären Ringe
On the Theory of Primary Rings§
Göttingen Berlin 1927
1929.06.12 Weber, Werner Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
Ideal-theoretic Interpretation of the Representability of Arbitrary Natural Numbers by Quadratic Forms§
Göttingen Berlin 1930
1929.06.26 Levitski, Jakob Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe
On Completely Reducible Rings and Subrings§
Göttingen Berlin 1931
1930.06.18 Deuring, Max Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
On the Arithmetic Theory of Algebraic Functions§
Göttingen Berlin 1932
1931.07.29 Fitting, Hans Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
On the Theory of Automorphism-Rings of Abelian Groups and Their Analogs in Noncommutative Groups§
Göttingen Berlin 1933
1933.07.27 Witt, Ernst Riemann-Rochscher Satz und Zeta-Funktion im Hyperkomplexen
The Riemann-Roch Theorem and Zeta Function in Hypercomplex Numbers§
Göttingen Berlin 1934
1933.12.06 Tsen, Chiungtze Algebren über Funktionenkörpern
Algebras over Function Fields§
Göttingen Göttingen 1934
1934 Schilling, Otto Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
On Certain Relationships between the Arithmetic of Hypercomplex Number Systems and Algebraic Number Fields§
Marburg Braunschweig 1935
1935 Stauffer, Ruth The construction of a normal basis in a separable extension field Bryn Mawr Baltimore 1936
1935 Vorbeck, Werner Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Non-Galois Splitting Fields of Simple Systems§
Göttingen
1936 Wichmann, Wolfgang Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
Applications of the p-adic Theory in Noncommutative Algebras§
Göttingen Monatshefte für Mathematik und Physik (1936) 44, 203–24.

Adını veren matematiksel konular

Dipnotlar

  1. ^ Emmy is the Rufname, the second of two official given names, intended for daily use. Cf. for example the resume submitted by Noether to Erlangen University in 1907 (Erlangen University archive, Promotionsakt Emmy Noether (1907/08, NR. 2988); reproduced in: Emmy Noether, Gesammelte Abhandlungen – Collected Papers, ed. N. Jacobson 1983; online facsimile at physikerinnen.de/noetherlebenslauf.html). Sometimes Emmy is mistakenly reported as a short form for Amalie, or misreported as "Emily". e.g. Smolin, Lee, Special Relativity – Why Can't You Go Faster Than Light?, Edge, ...Emily Noether, a great German mathematician... .
  2. ^ Einstein, Albert (1 May 1935), "Professor Einstein Writes in Appreciation of a Fellow-Mathematician", New York Times (5 May 1935 tarihinde yayınlandı), erişim tarihi: 13 April 2008 . Also online at the MacTutor History of Mathematics archive.
  3. ^ Alexandrov 1981, s. 100.
  4. ^ Ne'eman, Yuval. "The Impact of Emmy Noether's Theorems on XX1st Century Physics", Teicher 1999, ss. 83–101.
  5. ^ Weyl 1935
  6. ^ a b Lederman & Hill 2004, s. 73.
  7. ^ Dick 1981, s. 128
  8. ^ Dick 1981, s. 154.
  9. ^ Dick 1981, s. 152.
  10. ^ Noether 1987, s. 167.
  11. ^ Kimberling 1981, ss. 3–5.
  12. ^ a b Osen 1974, s. 142.
  13. ^ Lederman & Hill 2004, ss. 70–71.
  14. ^ Dick 1981, ss. 7–9.
  15. ^ Dick 1981, ss. 9–10.
  16. ^ Dick 1981, ss. 10–11.
  17. ^ Dick 1981, ss. 25, 45.
  18. ^ Kimberling, s. 5.
  19. ^ Kimberling 1981, s. 10.
  20. ^ Dick 1981, ss. 11–12.
  21. ^ Kimberling 1981, ss. 8–10.
  22. ^ Lederman & Hill 2004, s. 71.
  23. ^ Kimberling 1981, ss. 10–11.
  24. ^ Dick 1981, ss. 13–17.
  25. ^ Lederman & Hill 2004, s. 71 write that she completed her doctorate at Göttingen, but this appears to be an error.
  26. ^ Kimberling 1981, ss. 11–12.
  27. ^ Dick 1981, ss. 18–24.
  28. ^ Osen 1974, s. 143.
  29. ^ a b Kimberling 1981, s. 14.
  30. ^ a b Dick 1981, s. 32.
  31. ^ a b c Osen 1974, ss. 144–45.
  32. ^ a b c Lederman & Hill 2004, s. 72.
  33. ^ Dick 1981, ss. 24–26.
  34. ^ Dick 1981, s. 188.
  35. ^ Kimberling 1981, ss. 14–18.
  36. ^ Osen 1974, s. 145.
  37. ^ Dick 1981, ss. 33–34.
  38. ^ a b Kimberling 1981, s. 18.
  39. ^ Dick 1981, ss. 44–45.
  40. ^ Osen 1974, ss. 145–46.
  41. ^ van der Waerden 1935, s. 100.
  42. ^ Dick 1981, ss. 57–58.
  43. ^ Kimberling 1981, s. 19.
  44. ^ a b Lederman & Hill 2004, s. 74.
  45. ^ Osen 1974, s. 148.
  46. ^ Kimberling 1981, ss. 24–25.
  47. ^ Dick 1981, ss. 61–63.
  48. ^ Alexandrov 1981, ss. 100, 107.
  49. ^ Dick 1981, s. 51.
  50. ^ Dick 1981, ss. 53–57.

Kaynakça

Emmy Noether'in seçilmiş işleri (Almanya)

Ek bilgi

Dış bağlantılar

Şablon:Library resources box